SM 2BAC | Math | Quiz 4 | Les espaces vectoriels

Soit $E$ un espace vectoriel réel. On dit que la famille $\left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right)$ de vecteur de $E$, est une famille libre de $E$, si :

Il existe une famille $\left(\alpha_{1} ; \alpha_{2} ; \ldots ; \alpha_{n}\right)$ de réels non tous nuls vérifiant : $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \overrightarrow{x_{i}}=\overrightarrow{0}$
$\left(\forall\left(\alpha_{1} ; \alpha_{2} ; \ldots ; \alpha_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right): \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \overrightarrow{x_{i}}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}=0 $
$\left(\forall\left(\alpha_{1} ; \alpha_{2} ; \ldots ; \alpha_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\right): \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \overrightarrow{x_{i}}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{x_{1}}=\overrightarrow{x_{2}}=\cdots=\overrightarrow{x_{n}}= \overrightarrow{0} $

On dit que les vecteurs $\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}$ sont linéairement indépendants si :

La famille $\left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right) $ est une famille libre
La famille $\left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right) $ est une famille liée
La famille $\left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right) $ est une famille génératrice

On dit que les vecteurs $\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}$ sont linéairement dépendants si :

La famille $ \left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right) $ de vecteur de $E$ est une famille libre.
La famille $ \left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right) $ de vecteur de $E$ est une famille liée.
La famille $ \left(\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \ldots \ldots, \overrightarrow{x_{n}}\right) $ de vecteur de $E$ est une famille génératrice.

Une famille $B=\left(\overrightarrow{x_{1}} ; \overrightarrow{x_{2}} ; \ldots ; \overrightarrow{x_{n-1}}\right)$ est liée

Si, l'un des vecteurs de $B$ est une combinaison linéaire des $n$ autres.
Si, et seulement si, l'un des vecteurs de $B$ est une combinaison linéaire des $n-1$ autres.
Si, et seulement si, l'un des vecteurs de $B$ est une combinaison linéaire des $n-2$ autres.

Les éléments d’une famille libre sont deux à deux distincts.

Vrai
false

Considérons les 3 vecteurs suivants :
$\overrightarrow{u_1}= (2, -1, 3)$, $\overrightarrow{u_2}= (1, -3, -1)$, $\overrightarrow{u_3}= (0, 1, 1)$
La famille $(\overrightarrow{u_1} , \overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3})$ est liée car :

$3 \overrightarrow{u_1} + 4 \overrightarrow{u_2} + 2 \overrightarrow{u_3} = \overrightarrow{0} $
Les vecteurs $\overrightarrow{u_1} , \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3}$ sont linéairement indépendants
Les vecteurs $\overrightarrow{u_1} , \overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3}$ sont linéairement dépendants

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